Java估计某个点的导数

我目前正在写一个计算器应用程序。我正试图在其中编写衍生估算器。下面的公式是一种简单的方法。通常在纸上你会使用最小的h来获得最准确的估计。问题是双打无法处理将相当大的数字添加到真正的小数字。例如4 + 1E-200只会产生4.0。即使h只是1E-16,4 + 1E16实际上会给你正确的值，但是数学它是不准确的，因为在第16位之后的任何东西都会丢失并且舍入不能正确发生。我听说双打的一般经验法则是1E-8或1E-7。这个问题是大数字不会工作，因为2E231 + 1E-8将只是2E23,1E-8将因为尺寸问题而丢失。

f'(x)=(f(x+h)-f(x))/h as x approaches 0

当我在点4处测试f（x）= x ^ 2所以f'（4）时，它应该恰好是8 现在我明白我可能永远不会得到8.但我最准确的似乎是1E-7或1E8左右 有趣的是1E-9所有1E-11给出了相同的答案。 以下是

f(x)=x^2 at x=4

的h和结果列表

1E-7 8.000000129015916
1E-8 7.999999951380232
1E-9 8.000000661922968
1E-10 8.000000661922968
1E-11 8.000000661922968
1E-12 8.000711204658728

这是我的问题： 选择h的最佳方法是什么，显然1E-8或1E-7有意义，但我怎样才能选择基于x的h，这样即使x为3.14E203或2E-231也可以使用任何大小的数字。 我应该考虑多少小数的精度。 你知道德州仪器是如何做到的，TI 83,84和Inspire可以数字地计算出12位小数或精度的衍生物，几乎总是正确的，但无论如何它们的最大精度是12位数，那些计算器是非CAS，所以他们实际上并没有得到任何东西 逻辑上有一个介于1E-7和1E-8之间的数字会给我一个更精确的结果，有没有办法找到这个数字，或者至少接近它。 ANSWERED 非常感谢BobG。该应用程序目前计划为2种形式，即命令行PC应用程序。还有一个Android应用程序。特别要感谢About页面的部分内容。如果你想它将是开源的，但我没有发布到项目网站的链接，直到我找出一些非常大的错误。目前我一直称它为Mathulator，但名称可能会改变，因为它已经有版权并且听起来很愚蠢。我不知道发布候选版本何时会运行，目前我还没有任何线索会稳定的。但如果我能实现我想要的一切，它将会非常强大。再次感谢。快乐的编程。