Mathematica与许多奇点不可分

让Mathematica 7或8做积分的最佳方法是什么 
NIntegrate[Exp[-x]/Sin[Pi x], {x, 0, 50}]
每个整数都有极点 - 我们想要Cauchy原理值。 我们的想法是从0到无穷大得到一个很好的近似值。 使用
Integrate
可以选择
PrincipleValue -> True
。 使用
NIntegrate
我可以给它选择
Exclusions -> (Sin[Pi x] == 0)
，或者手动给它选择 
NIntegrate[Exp[-x]/Sin[Pi x], Evaluate[{x, 0, Sequence@@Range[50], 50}]]
原始命令和上面两个
NIntegrate
技巧给出结果
60980 +/- 10
。但他们都吐出了错误。如果没有Mathematica想要给出错误，那么为这个积分获得快速可靠结果的最佳方法是什么？     
2019-11-02 4 条评论
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    已邀请:

    结乳

    西蒙，有理由相信你的积分是收敛的吗？ 
    In[52]:= f[k_Integer, eps_Real] := 
 NIntegrate[Exp[-x]/Sin[Pi x], {x, k + eps, k + 1 - eps}]

In[53]:= Sum[f[k, 1.0*10^-4], {k, 0, 50}]

Out[53]= 2.72613

In[54]:= Sum[f[k, 1.0*10^-5], {k, 0, 50}]

Out[54]= 3.45906

In[55]:= Sum[f[k, 1.0*10^-6], {k, 0, 50}]

Out[55]= 4.19199
    看起来问题出在x == 0。对于k的整数值，将积分k + eps分裂为k + 1-eps： 
    In[65]:= int = 
 Sum[(-1)^k Exp[-k ], {k, 0, Infinity}] Integrate[
   Exp[-x]/Sin[Pi x], {x, eps, 1 - eps}, Assumptions -> 0 < eps < 1/2]

Out[65]= (1/((1 + 
   E) (I + [Pi])))E (2 E^(-1 + eps - I eps [Pi])
     Hypergeometric2F1[1, (I + [Pi])/(2 [Pi]), 3/2 + I/(2 [Pi]), 
     E^(-2 I eps [Pi])] + 
   2 E^(I eps (I + [Pi]))
     Hypergeometric2F1[1, (I + [Pi])/(2 [Pi]), 3/2 + I/(2 [Pi]), 
     E^(2 I eps [Pi])])

In[73]:= N[int /. eps -> 10^-6, 20]

Out[73]= 4.1919897038160855098 + 0.*10^-20 I

In[74]:= N[int /. eps -> 10^-4, 20]

Out[74]= 2.7261330651934049862 + 0.*10^-20 I

In[75]:= N[int /. eps -> 10^-5, 20]

Out[75]= 3.4590554287709991277 + 0.*10^-20 I
    如你所见，存在对数奇点。 
    In[79]:= ser = 
 Assuming[0 < eps < 1/32, FullSimplify[Series[int, {eps, 0, 1}]]]

Out[79]= SeriesData[eps, 0, {(I*(-1 + E)*Pi - 
     2*(1 + E)*HarmonicNumber[-(-I + Pi)/(2*Pi)] + 
          Log[1/(4*eps^2*Pi^2)] - 2*E*Log[2*eps*Pi])/(2*(1 + E)*Pi), 
     (-1 + E)/((1 + E)*Pi)}, 0, 2, 1]

In[80]:= Normal[
  ser] /. {{eps -> 1.*^-6}, {eps -> 0.00001}, {eps -> 0.0001}}

Out[80]= {4.191989703816426 - 7.603403526913691*^-17*I, 
 3.459055428805136 - 
     7.603403526913691*^-17*I, 
 2.726133068607085 - 7.603403526913691*^-17*I}
    编辑 上面代码的[79]给出了eps-> 0的系列扩展，如果这两个对数项组合在一起，我们得到 
    In[7]:= ser = SeriesData[eps, 0, 
       {(I*(-1 + E)*Pi - 2*(1 + E)*HarmonicNumber[-(-I + Pi)/(2*Pi)] + 
              Log[1/(4*eps^2*Pi^2)] - 2*E*Log[2*eps*Pi])/(2*(1 + E)*
       Pi), 
         (-1 + E)/((1 + E)*Pi)}, 0, 2, 1]; 

In[8]:= Collect[Normal[PowerExpand //@ (ser + O[eps])], 
 Log[eps], FullSimplify]

Out[8]= -(Log[eps]/[Pi]) + (
 I (-1 + E) [Pi] - 
  2 (1 + E) (HarmonicNumber[-((-I + [Pi])/(2 [Pi]))] + 
     Log[2 [Pi]]))/(2 (1 + E) [Pi])
    很明显，-Log [eps] / Pi来自x == 0的极点。因此，如果有人减去这个，就像原则值方法一样，对于其他极点，你最终会得到一个有限值： 
    In[9]:= % /. Log[eps] -> 0

Out[9]= (I (-1 + E) [Pi] - 
 2 (1 + E) (HarmonicNumber[-((-I + [Pi])/(2 [Pi]))] + 
    Log[2 [Pi]]))/(2 (1 + E) [Pi])

In[10]:= N[%, 20]

Out[10]= -0.20562403655659928968 + 0.*10^-21 I
    当然，这个结果很难用数字来验证，但你可能对我的问题了解得更多。 编辑2 此编辑用于证明In [65]输入中的计算原始正则化积分。我们正在计算 
    Sum[ Integrate[ Exp[-x]/Sin[Pi*x], {x, k+eps, k+1-eps}], {k, 0, Infinity}] ==  
  Sum[ Integrate[ Exp[-x-k]/Sin[Pi*(k+x)], {x, eps, 1-eps}], {k, 0, Infinity}] ==
  Sum[ (-1)^k*Exp[-k]*Integrate[ Exp[-x]/Sin[Pi*x], {x, eps, 1-eps}], 
       {k, 0, Infinity}] == 
  Sum[ (-1)^k*Exp[-k], {k, 0, Infinity}] * 
     Integrate[ Exp[-x]/Sin[Pi*x], {x, eps, 1-eps}]
    在第三行中，使用Sin [Pi *（k + x）] ==（ - 1）^ k *，对于整数k，使用Sin [Pi * x]。     
    2019-11-02 0 0
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    购藏盗码韦

    西蒙，我没有花太多时间用你的积分，但你应该尝试看静止相位近似。你所拥有的是平滑函数（exp）和高振荡函数（正弦）。所涉及的工作现在正在
    1/sin(x)
    中形成
    exp(if(x))
     或者，您可以使用
    cosecant
    的系列扩展（在极点处无效）： 
    In[1]:=Series[Csc[x], {x, 0, 5}]
(formatted) Out[1]=1/x + x/6 + 7/360 x^3 + 31/15120 x^5 +O[x]^6
    请注意，对于所有
    m>-1
    ，您有以下内容： 
    In[2]:=Integrate[x^m Exp[-x], {x, 0, Infinity}, Assumptions -> m > -1]
Out[2]=Gamma[1+m]
    然而，将系列与cosecant（来自维基百科）的系数相加，不包括
    1/x Exp[-x]
    的情况，它不会收敛于
    [0,Infinity]
    。 
    c[m_] := (-1)^(m + 1) 2 (2^(2 m - 1) - 1) BernoulliB[2 m]/Factorial[2 m];
Sum[c[m] Gamma[1 + 2 m - 1], {m, 1, Infinity}]
    不收敛...... 所以，我不确定你能算出无穷大积分的近似值，但是如果你对一个大N的解决方案感到满意，我希望这些有帮助。     
    2019-11-02 0 0
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    挂帘妈乡

    我不得不同意Sasha，积分似乎并不收敛。但是，如果你排除
    x == 0
    并将积分分解成碎片 
    Integrate[Exp[-x]/Sin[Pi x], {x, n + 1/2, n + 3/2}, PrincipalValue -> True]

    n >= 0 && Element[n, Integers]
    ，那么你似乎可以得到一个交替的系列 
    I Sum[ (-1/E)^n, {n, 1, Infinity}] == - I / (1 + E )
    现在，我只把它拿出来
    n == 4
    ，但看起来很合理。但是，对于上面的积分，
    Assumptions -> Element[n, Integers] && n >= 0
    Mathematica给出 
    If[ 2 n >= 1, - I / E, Integrate[ ... ] ]
    这不符合个别情况。另外要注意的是，如果极点位于积分区域的边界，即你的极限是
    {x, n, n + 1}
    ，那么你只能获得
    DirectedInfinity
    s。快速浏览一下情节意味着你有限制
    {x, n, n + 1}
    你只有一个严格正或负的被积函数，所以无限的价值可能是由于缺乏补偿而导致的。用
    {x, n, n + 2}
    检查，但它只吐出未评估的积分。     
    2019-11-02 0 0
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