组合优化-背包的变化

|| 这是一个实际的组合优化问题。我们为特定产品提供了一系列价值主张。价值主张是不同的类型，但每种类型都是独立的，并为整个产品带来相同的利益。在构建产品时，我们可以包含每种类型的“单位”的任何非负整数。但是，在添加了某种类型的第一个单元后，该类型的其他单元的边际收益会不断降低。实际上，新单位的边际收益是添加新单位后该类型单位数量的倒数。我们的产品必须至少具有某种类型的单元，并且由于此要求，我们必须对整体值进行小的修正。设“ 0”是代表产品在特定生产过程中每种类型的编号的数组。然后，总值V由（伪代码）给出：

V = 1
For Each t in T
    V = V * (t + 1)
Next t
V = V - 1 // correction

在成本方面，相同类型的单位具有相同的成本。但是，不同类型的单位各自具有独特的非理性成本。类型的数量很大，但是我们得到了一组类型成本ѭ3array，从最小到最大排序。让我们进一步假设类型数量数组T[]也按成本从最小到最大排序。那么总成本U就是每个单位成本的总和：

U = 0
For i = 0, i < NumOfValueTypes
    U = U + T[i] * C[i]
Next i

到目前为止，一切都很好。所以这就是问题所在：给定值V和成本U的产品P，找到成本U\'和值V\'的产品Q，最小的U\'使得U\' > U，V\'/U\' > V/U。

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席陋临拈

您描述的问题是非线性整数编程问题，因为它包含整数变量t的乘积。由于存在严格的不等式，因此无法关闭其可行性集，可以通过使用非严格的不等式并在右侧添加一个小的正数（ε）来解决此问题。然后可以在AMPL中将问题表达如下：

set Types;
param Costs{Types};      # C
param GivenProductValue; # V
param GivenProductCost;  # U
param Epsilon;

var units{Types} integer >= 0; # T
var productCost = sum {t in Types} units[t] * Costs[t];

minimize cost: productCost;
s.t. greaterCost: productCost >= GivenProductCost + Epsilon;
s.t. greaterValuePerCost:
  prod {t in Types} (units[t] + 1) - 1 >=
    productCost * GivenProductValue / GivenProductCost + Epsilon;

可以使用诸如Couenne之类的非线性整数编程求解器来解决此问题。

涸坍饺

老实说，我认为没有简单的方法可以解决此问题。最好的办法是编写系统并使用求解器对其进行求解（Excel求解器可以解决问题，但您可以使用Ampl来解决此非lienar程序。）该程序：

Define: U;
        V;
        C=[c1,...cn];

Variables: T=[t1,t2,...tn];

Objective Function: SUM(ti.ci)

Constraints:

For all i: ti integer
SUM(ti.ci) > U 
(PROD(ti+1)-1).U > V.SUM(ti.ci)

它与excel配合得很好，（您只需将> U替换为> = U + d，其中d是成本的显着数量-（即，如果C = [1.1、1.8、3.0、9.3] d = 0.1），因为excel不会\不允许求解器中存在严格的不等式。）我猜想像Ampl这样的真正求解器会完美地工作。希望能帮助到你，

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