使用矢量化求解多个线性系统

| 抱歉，如果这很明显，但我搜索了一会儿却没有找到任何东西（或错过了它）。 我正在尝试用A 4x4矩阵和B 4x1向量解形式为Ax = B的线性系统。 我知道对于单个系统，我可以使用
mldivide
来获得x：
x=A\\B
。 但是，我正在尝试解决大量系统（可能> 10000），并且我不愿意使用for循环，因为在许多MATLAB问题中，我被告知它明显比矩阵公式慢。 然后我的问题是：是否有一种方法可以使用A 4x4x N和B矩阵4x N的矢量化来解决Ax = B？ PS：我不知道这是否重要，但是B向量对于所有系统都是相同的。     
2020-02-05 6 条评论
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    埃庐

            您应该使用for循环。如果
    A
    保持不变而
    B
    发生变化，则预先计算因式分解并重新使用它可能会有好处。但是对于您的问题，其中
    A
    改变而
    B
    保持不变，则除了解决N个线性系统外别无选择。 您也不必太担心循环的性能成本：MATLAB JIT编译器意味着循环在最新版本的MATLAB上通常可以同样快。     
    2020-02-05 0 0
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    感秆暴壳

            我认为您无法进一步优化。正如@Tom所解释的那样，由于
    A
    是一个变化，因此事先将各种
    A
    \分解为无益。 给定您提到的尺寸，除了循环解决方案之外，它还非常快： 
    A = rand(4,4,10000);
B = rand(4,1);          %# same for all linear systems

tic
X = zeros(4,size(A,3));
for i=1:size(A,3)
    X(:,i) = A(:,:,i)\\B;
end
toc
      经过的时间是0.168101秒。     
    2020-02-05 0 0
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    结乳

            这是问题所在： 您正在尝试在3D矩阵上执行2D操作（mldivide）。无论您如何看待它，都需要按索引引用矩阵，这是时间惩罚的开始……这不是问题所在的for循环，而是人们如何使用它们。 如果您可以以不同的方式构造问题，那么也许可以找到一个更好的选择，但是现在您有几个选择： 1-混合 2-并行处理（编写parfor循环） 3-CUDA     
    2020-02-05 0 0
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    草票

            这是一个相当神秘的解决方案，它利用了MATLAB独特的优化功能。使用对角线的4x4块构造一个巨大的4k x 4k稀疏矩阵。然后同时解决所有问题。 在我的机器上，它获得与@ Amro / Tom的for循环解决方案相同的解决方案，单精度精度最高，但是速度更快。 
    n = size(A,1);
k = size(A,3);
AS = reshape(permute(A,[1 3 2]),n*k,n);
S = sparse( ...
  repmat(1:n*k,n,1)\', ...
  bsxfun(@plus,reshape(repmat(1:n:n*k,n,1),[],1),0:n-1), ...
  AS, ...
  n*k,n*k);
X = reshape(S\\repmat(B,k,1),n,k);
    对于一个随机的例子： 
    For k = 10000
For loop: 0.122570 seconds.
Giant sparse system: 0.032287 seconds.
    如果您知道4x4矩阵是正定的，则​​可以在S上使用use11ѭ来提高精度。 真傻但是即使在使用JIT的情况下，matlab的for循环在2015年仍然有多慢。当k不太大时，此解决方案似乎找到了一个最佳位置，因此所有内容仍适合内存。     
    2020-02-05 0 0
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    量华

            我知道这个职位已有几岁了，但是我还是会捐出两分钱。您可以将所有A矩阵放入一个较大的块对角矩阵中，其中大矩阵的对角线上将有4x4块。右边将是您的所有b向量一遍又一遍地堆叠在一起。设置好之后，它将被表示为稀疏系统，并且可以使用mldivide选择的算法来有效地解决。这些块在数值上是解耦的，因此，即使其中存在单个块，使用mldivide时，非单个块的答案也应该是正确的。在MATLAB Central上有采用这种方法的代码： http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/24260-multiple-same-size-linear-solver 我建议尝试看看这种方法是否比循环更快。我怀疑它会更有效，尤其是对于大量的小型系统。特别是，如果在N个矩阵上都有A系数的公式，则可以使用MATLAB向量运算（无循环）构建左手边，这可以进一步节省成本。正如其他人指出的那样，矢量化操作并不总是更快，但根据我的经验，它们通常是。     
    2020-02-05 0 0
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