渐近分析问题：sum [log（i）* i ^ 3，{i，n}]是big-theta（log（n）* n ^ 4）

该系列看起来像这样 - 记录1 + log 2 * 2 ^ 3 + log 3 * 3 ^ 3 ....（最多n个术语） 其总和不会收敛。所以，如果我们整合它 积分到（1到无穷大）[logn * n ^ 3]（按部分积分） 你会得到1/4 * logn * n ^ 4 - 1/16 *（n ^ 4） 很明显，主导词有logn * n ^ 4，因此它属于Big Theta（log n * n ^ 4） 你可以看到它的另一种方式是 - 该系列看起来像log 1 + log2 * 8 + log 3 * 27 ...... + log n * n ^ 3。 您可以将log n视为具有最高值的术语，因为所有对数函数都以相同的速率渐近地增长， 您可以将上述系列视为log n（1 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 ...） log n [n ^ 2（n + 1）^ 2] / 4 假设f（n）= log n * n ^ 4 g（n）= log n [n ^ 2（n + 1）^ 2] / 4 你可以证明f（n）/ g（n）的lim（n趋于inf）将是一个常数[应用L'Hopital的规则] 这是证明函数g（n）属于Big Theta（f（n））的另一种方法。 希望有所帮助。     

提示解决方案的一部分：左边总和的最后两个加数的总和有多大？ 提示第二部分：如果你将左侧（总和）除以右侧，你得到多少个加数？最大的一个有多大？ 再次提示第一部分：在第一个表达式中找到从n / 2到n的总和的简单估计值。     

尝试BigO限制定义并使用微积分。 对于微积分，您可能想使用一些计算机代数系统。 在下面的回答中，我已经展示了如何使用Maxima Opensource CAS执行此操作： 对数与幂的渐近复杂性