介绍
RSA要求，我们选择了两个随机素数，p和q，并使用它们来生成一个数N = P * Q。 n是因为它只有一个半素数两个因素（除了1号）。在试图通过研究不同的方法来了解保，一种方法是尝试推断出重要P Q值。可以用来分解N = P * Q除数p和q的总和。背景
实施的方法之一，使用下列多项式保问题的一个半素数n表示:

x^2 - (p+q)x + pq = 0

这允许我们使用二次方程式[2]通过设置系数来推断的因素p和q = 1，B = - （PQ），C = PQ，在一般方程:{C}
因此，进入二次公式[2]替换:

x = (-b +- sqrt(b^2 ?4ac))/2

，我们有以下解决方案:{体C3}
作为一个简单的例子，考虑N = 3 * 7 = 21。现在，我们有:{的C4}
，鉴于我们二次方程的使用，产生的公式:{C5的}
解决的情况下:{5233}
，为的情况下:{C7-}
这让我们重现3和7的因素。这意味着，如果我们可以推断出的总和PQ不知何故，我们可以平凡因子n。
我们注意到，我们有:{C8的}
我们可以现蕾PQ和p证明这种说法Q，和解决？？

          p^2 + 2 * pq + q^2 ?[p^2 ?2 *pq + q^2] = 4 * pq

          p^2 + 2 * pq + q^2 ?p^2 + 2 *pq ?q^2 = 4 * pq

                      2 * pq + 2 * pq = 4 * pq

                              4 * pq = 4 * pq

鉴于此，我们可以重申保问题作为半素勾股定理的应用:{C10的}C = PQ，A = P Q
，B = SQRT（4 * PQ），从而？{C11的}
这是因为:{C12的}
这是公式2。利用这一点，我们可以写P Q是:

p + q = sqrt((p ?q)^2 + 4 * pq)         (Equation 3)

从勾股定理如下。
鉴于3方程，并注意到，右手方必须是一个完美的正方形，在我们生产整数分解为n，我们可以制定一个分解算法是O（（P Q）/ 2？）:

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <math.h>



int

main(int argc, char **argv)

{

    if(argc != 2) {

         fprintf(stderr, syntax: factor semi_prime\n?;

         return 1;

    }

    {

         int n = strtoul(argv[1], NULL, 10);

         int i  = 2, j = 0, k = 0, trials = 0, p = 0, q = 0;

         if((n % i) == 0) {

             /* Divisible by 2. */

             printf(n=%d p=%d q=%d trials=1\n? n, i, p/i);

             return 0;

         }

         for(; i < n; i += 2, ++trials) {

              j = ( i * i );

              j = j + 4 * n;

              k = (int)sqrt(j);

              if((k * k) == j) {

                  /* k == p + q, i == p ?q */

                              p = (k + i) / 2; 

                  q = (k ?i) / 2;

                  printf(n=%d p=%d q=%d trials=%d\n?n,p,q,trials);

                  return 0;

              }

         }

    }

    return 0;

}

，它应该是明确的，该算法是O（（P？Q）/ 2）。当我们找到一个完美的正方形以下时，如果声明是真实的，这是确定的，该算法停止:

if ((k * k) == j)

，而发生这种情况时，我恰恰是等于p？问。由于我们指望在i == 2开始了2倍，我们只需要一半的步骤，以便找到一个理。其中的因素之一，p或q，2号的情况下被视为一个特殊的情况。此外，的情况下，p和q是相同的号码（和因此，n是一个完美的正方形），没有被处理的算法。该算法允许我们的因素，不同的半素数因子可数在多项式时间的差异。其中p和q差别很大（将在现实世界的RSA引擎，我们希望的情况下）的情况下，该算法是不可行的。 欧拉披中的应用
现在我们的兴趣转向欧拉披[1]功能。在这里，一些结果的欧拉披函数的定义计算，半素数，N = P * Q其中p和q都是独特的素数。推导出的结果如下:
我们e​​ulerphi（N）等于（P-1）*（Q-1），半素数。然后，我们计算为P * Q eulerphi（N） - P - Q 1，乘以（P-1）*（Q-1）。
然后如下，N = eulerphi（N）PQ - 1。如果我们让X = PQ，我们可以指出，N = eulerphi（N）X - 1。求解X，产量:
X = N - eulerphi（N）1，从而
P Q = N - eulerphi（N）1。
现在，由于多项式:X ^ 2 - （PQ）×PQ，我们可以使用二次公式推导出p和q，n的因素，正如我们前面所述。除了这个时间，值欧拉披计算。因此，如果我们可以计算n的欧拉披，我们可以系数n平凡。
为了实现这个想法，我们使用享有/大奖赛，可从{A1}，以下代码的脚本，使用GP:{C16的}
在文章中包含随机生成使用为指导，所需的数位的素数称为gen_prime.java程序。此工具将被用来测试我们的欧拉披基于保。例如，在Linux命令行: {C17的}
将产生一个128位的半素。
现在，我们的Java代码来推断随机素数，另一个脚本用来测试使用这些生成的随机素数的几起案件。
，这些值乘时，被用来作为n值在GP保脚本。
然后，我们让享有解方程，并产生一个结果。的欧拉披应用为例:{C18的}
相比之下，目前的"因素"在Linux的命令产生的结果如下:
运行的测试脚本是可从test_eulerphi.sh。它允许用户自定义的脚本来尝试对128位半素数通过设置脚本的想法素数变量LG（SQRT（2 ^ 128））或64，审判所需的数字，目前有10个。该脚本可以测试这个电流限制两个变量，素数和审判提供不同的价值观，很容易接近。电流限制被认为是84位的素数，允许为168位半素数理。使用代码
的代码来测试的O（（PQ）/ 2）算法与C编译器编译，测试与海湾合作委员会在Linux和Windows上的MinGW。运行它需要你传递半素数。多么少的操作数，它需要的因素是，其中的两个因素可数的区别不同的用户会注意到。如编码，该算法使用内置的32位整数类型的默认。享有/大奖赛脚本，您需要在您的计算机上安装此软件第一。然后，你需要编译的Java代码来生成随机素数（gen_prime.java）。在这之后，你可以运行脚本（test_eulerphi.sh）。代码的配置，以分​​解128位的半素数。景点
最好的分解算法，目前存在广义数域筛（GNFS）[1]。为保更大的数字，它建议，该算法调查。另外，也许还有其他技术的基础上计算:（PQ）或（P？Q）N = P * Q的想法，可以发现的。结论
文章显示两种技术涉及二次公式，一个技术与设计考虑到这两个因素之间的差异优势，另一种能分解128位的半素数。后者的实施作为一个脚本，所有的代码都可以在网络上提供进一步的调查和利用。号决议的问题仍将是有趣的。在这个时候，没有人推导出一种方法，运行在多项式时间或证明的决议问题的复杂性，是不是在多项式时间内[1]。使用算法的O（（PQ）/ 2）有限的情况下，P-Q是大的。 n的欧拉披使用是有限的，它被推测是难以计算保列印。
总之，到目前为止，在帕里/大奖赛人数最多的使用欧拉披技术因素是一个168位的整数:{C20的}参考文献[1] Pomerance，C放大器;克兰多尔，R.（2005）素数，施普林格，纽约。[2]拉尔森， 稀土，霍斯泰特勒，RP，爱德华兹，BH，放大器; Heyd，DE（1997）初等，Houghton Mifflin公司，纽约。